Решение оптимизационных задач средствами EXCEL




Решение систем линейных уравнений методом жордана - гаусса


Пример 1.     Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений:

            а)  Х1 + Х2 + 2Х3

= -1

               2Х1 -  Х2 + 2Х3

= -4

               4Х1 + Х2 + 4Х3

= -2

Решение:

 Составим расширенную матрицу

1 Итерация.

В качестве направляющего элемента выбираем элемент

. Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого к второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на -2  и -4. Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

2 Итерация.

Выбираем направляющий элемент

. Так как
, то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку на 1 и 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу:

3 Итерация.

Выбираем направляющий элемент

. Так как
, то делим третью строку на -2. Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку на -4/3 и -2/3 и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу:

откуда Х1 = 1,  Х2 = 2,  Х3

= -2.

 

Пример 2.  Решить методом Жордана - Гаусса систему линейных уравнений:

              Х1 + 2Х2 + 2Х3

+22Х4 –4Х5= 11

              Х1 +2Х2 + Х3

+16Х4–4Х5= 9

              Х1 + Х2 + Х3

+12Х4 -2Х5= 6

Решение:

Составим расширенную матрицу

1 Итерация.

В качестве направляющего элемента выбираем элемент

. Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на -1. Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

2 Итерация.

Выбираем направляющий элемент

. Умножаем  третью строку на -1. Преобразуем второй столбец в единичный. Для этого к первой строке прибавляем третью строку, соответственно умноженную на -2.

Получим матрицу:

3 Итерация.

Выбираем направляющий элемент

. Так как
, то умножаем вторую строку на –1. Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого вторую строку складываем  с третьей строкой. Получим матрицу:

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

 

1

2

2

22

-4

1

0

0

11

1

2

1

16

-4

0

1

0

9

1

1

1

12

-2

0

0

1

6

1

2

2

22

-4

1

0

0

11

1

0

0

-1

-6

0

-1

1

0

-2

0

-1

-1

-10

2

-1

0

1

-5

1

0

0

2

0

-1

0

2

1

2

0

0

-1

-6

0

-1

1

0

-2

0

1

1

10

-2

1

0

-1

5

1

0

0

2

0

-1

0

2

1

3

0

0

1

6

0

1

-1

0

2

0

1

0

4

-2

0

1

-1

3

1

0

0

2

0

-1

0

2

1

0

1

0

4

-2

0

1

-1

3

0

0

1

6

0

1

-1

0

2

<


Содержание    Вперед